全国大学生数学竞赛是一项重要的学术活动，旨在推动高等数学教育的发展，激发学生的学习热情和创新能力。该竞赛包含数学专业组和非数学专业组两大类，每组考试内容虽各有侧重，但均围绕本科数学教学大纲展开。加入自主选拔在线团队，让我们共同深入了解这一赛事！

　　为了帮助大家更好地准备数学竞赛，我们在文章末尾特别提供了《全国大学生数学竞赛考纲汇总》的PDF文件。只需点击下载，便可随时查阅和打印。期待大家积极下载，为竞赛做好充分准备！

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　　全国大学生数学竞赛内容与奖项设置

竞赛内容

　　预赛和决赛的试题均由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命制。其中分区预赛由各省（市、区、军队院校）数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试；决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施。初赛和决赛竞赛题覆盖的内容略有不同。

　　初赛试题内容（数学类）：初赛考试内容为数学专业本科阶段数学基础课内容。共包括三门课程，占有的分值大致比例分别为：数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%；

　　决赛考试（数学类）内容分为两类：

　　大二学生（低年级组）：在预赛所考内容的基础上增加常微分方程，所占总分的比例约为15%；

　　大三及以上年级学生（高年级组）：在大二学生考试内容的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容，由考生选做其中三门课程的考题。新增内容所占总分的比例不超过50%。

　　奖项设置

　　全国大学生数学竞赛设初赛(预赛)(以省、市、自治区作为赛区，军队院校为一个独立赛区)奖与决赛奖。预赛和决赛都按照数学类专业 (分A类与B类分开评) 与非数学类专业分别评奖，设一、二、三等奖。

　　初赛奖：各赛区分别评选，上报全国组委会审批。每个赛区的获奖总名额不超过总参赛人数的35%(其中获一等奖、二等奖、三等奖的人数分别占各类获奖总人数的8%、12%、15%)

　　决赛奖：决赛全国统一评奖。参加全国决赛的总人数一般为600人左右 (其中数学类、非数学类学生各300名)。每个赛区参加决赛的名额不少于6名 (其中数学类3名，非数学类3名)，由各赛区在赛区一等奖获得者中推选。决赛阶段的评奖等级按绝对分数评奖。

数学分析

1.集合与函数

实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界

n维Euclid空间的基本概念与性质

实数系基本定理及其在n维Euclid空间中的对应定理

函数、映射、变换及其几何意义,隐函数,反函数与逆变换,反函数存在定理,初等函数及相关的性质

2.极限与连续

Rn中点列极限、收敛列的基本性质

夹逼准则、子列极限

函数极限及其基本性质

函数的连续与间断、左连续右连续、(有界闭集上)连续函数的性质

上极限、下极限

3.一元函数微分学

导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性

微分中值定理与Taylor公式

一元微分学的应用

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4.多元函数微分学

偏导数、全微分及其几何意义,可微、偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,多元函数中值定理与Taylor公式

多元复合函数的可微性和求导、隐函数(组)存在定理、隐函数(组)求导方法、多元向量值函数的反函数

几何应用：平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等

极值问题,条件极值与Lagrange乘数法

5.一元函数积分学

原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分等

定积分及其几何意义、 上积分、下积分、Darboux和Riemann、可积条件(必要条件、充要条件)

定积分的性质

无限区间上的广义积分及无界函数广义积分

微元法、几何应用及其他应用

6.多元函数积分学

积分(尤其是二重三重积分)及其几何意义、计算(累次积分、变换代换(广义极坐标变换、广义柱面坐标变换、广义球面坐标变换等)

重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等)

含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性等

第一型曲线积分、曲面积分

第二型曲线积分、曲面积分,两类线积分、两类面积分之间的关系

Green公式、Ostrogradsky-Gauss公式、Stokes公式,曲线积分与路径无关性、循环常数、场论初步等

7.无穷级数

数项级数、正项级数收敛性；一般项级数的收敛性

函数列与函数项级数

幂级数

Fourier级数及Fourier级数的收敛性

高等代数

1.多项式

数域与一元多项式

因式分解定理

有理系数多项式

多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理

2.行列式

行列式的定义、性质、计算以及克拉默法则

3.线性方程组

高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.

向量与向量组。

矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.

线性方程组求解

4.矩阵

矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律

矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系

矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件,初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形及逆矩阵的求取等

分块矩阵

5.双线性函数与二次型

双线性函数、对偶空间.

二次型

正定、半正定、负定、半负定二次型及正定、半正定矩阵,负定、半负定矩阵的性质与判定

6.线性空间

线性空间的定义与简单性质.

维数,基与坐标.

基变换与坐标变换.

线性子空间.

子空间的交与和、维数公式、子空间的直和

7.线性变换

线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.特征值与特征向量: 线性变换和矩阵的特征值与特征向量、可对角化线性变换和矩阵的性质与判定, 相似矩阵、相似不变量、哈密顿-凯莱(Hamilton-Caley) 定理等

线性变换的值域与核、不变子空间、线性空间的分解与同构

8.若当标准形

λ- 矩阵: λ- 矩阵、λ- 矩阵在初等变换下的标准形, 行列式因子、不变因子、初等因子, 矩阵相似的条件等.若当 (Jordan) 矩阵、若当 (Jordan) 标准形、有理标准形

9.欧式空间

定义与基本性质: 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵, 标准正交基、正交矩阵、施密特 (Schmidt) 正交化方法等欧氏空间的同构, 正交变换、子空间的正交补, 对称变换、实对称矩阵的标准形主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形酉空间

解析几何

1.向量与坐标

向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用应用向量求解一些几何、三角问题

2.轨迹与方程

曲面方程的定义: 普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程

3.平面与空间直线

平面方程、直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面、直线方程根据平面和直线的方程, 判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等; 求两异面直线的公垂线方程

4.二次曲面

柱面、锥面、旋转曲面的定义, 求柱面、锥面、旋转曲面的方程椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法

根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题

5.二次曲线的一般理论

二次曲线的渐进方向、中心、渐近线二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径二次曲线的主轴、主方向, 特征方程、特征根化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图