2024年第65届国际数学奥林匹克（IMO）试题答案（第一天）

2024-07-22 15:08|编辑: 于老师|阅读: 73

摘要

2024年第65届国际数学奥林匹克竞赛于近期开始，考试分为两天进行，为方便大家了解考试试题及答案，自主选拔在线团队整理了第一天考试试题答案，供大家参考！

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2024年第65届国际数学奥林匹克（IMO）试题答案（第一天）

第一题答案

第65届IMO的第一题是一道带有数论意味的代数题。

求所有实数α，对于任一正整数n，整数⌊α⌋+⌊2α⌋+ … +⌊nα⌋一定是n的倍数。（注：⌊z⌋表示小于或等于z的最大整数。例如：⌊-π⌋= -4，⌊2⌋=⌊2.9⌋= 2。）

解题的黄金规则之一，就是从最简单的情形开始尝试。

定义函数f(α,n) =⌊α⌋+⌊2α⌋+ … +⌊nα⌋。

当α = 0时，

显然对于任一n，f(0,n) =⌊0⌋+⌊0⌋+ … +⌊0⌋= 0，一定可以被n整除。所以α = 0是一个平凡解。

当α = 1时，

f(1,n) =⌊1⌋+⌊2⌋+ … +⌊n⌋=n(n+ 1)/2。当n为偶数时，(n+ 1)/2不是整数，n(n+ 1)/2不能被n整除。所以α = 1不是解。

现在考虑整个整数域。

注意到向下求整符号具有以下“整数分离”的特性：如果将向下取整符号内的实数x表示成另一个实数y和一个整数m的和，即x=y+m

那么有，⌊x⌋=⌊y+m⌋=⌊y⌋+m

考虑f(α,n)和f(α + 2,n)，

f(α + 2,n) =⌊α + 2⌋+⌊2(α + 2)⌋+ … +⌊n(α + 2)⌋=⌊α⌋+ 2 +⌊2α⌋+ 4 + … +⌊nα⌋+ 2n=f(α,n) +n(n+ 1)

对于任一n有，f(α + 2,n)≡f(α,n) (modn)。

这意味着，如果α是一个解，那么α + 2也是一个解；反之，如果α不是一个解，那么α + 2也不是一个解。

换句话说，“f(α,n)总能被n整除”这一命题是否成立对于α来说具有周期性，其周期为2。

因此，对于实数域中的α，我们只须讨论α在[0, 2)这个周期单位区间内解的情况。

我们已知α = 0是一个解，而α = 1不是一个解，以下证明α在(0, 1)和(1, 2)这两个区间内不存在其他解。

1. α位于区间(0, 1)内，对于任一给定的α，一定存在某个足够大的正整数n≥ 2，使得

1/n< α < 1/(n– 1)

令α = 1/n+ ε，其中ε为正数且小于α所在取值范围的大小，即，

0 < ε < 1/(n– 1) – 1/n= 1/[n(n– 1)]

考察f(α,n) =⌊1/n+ ε⌋+⌊2(1/n+ ε)⌋+ … +⌊n(1/n+ ε)⌋。

当1 ≤k<n时，第k项

k(1/n+ ε) =k/n+kε <k/n+k/[n(n– 1)] =k/(n– 1) ≤ 1 (式1)

所以⌊k(1/n+ ε)⌋= 0

而最后一项⌊n(1/n+ ε)⌋=⌊1 +nε⌋= 1。

所以f(α,n) = 1。1不能被n整除，因此区间(0, 1)内不存在解。

2. α位于区间(1, 2)内，令α = 1 + α'，这样0 < α'< 1，类似地，对于任一给定的α'，一定存在某个足够大的正整数n≥ 2，使得

1 – 1/(n– 1) < α'< 1 – 1/n

令α'= 1 – 1/n– ε = 1 – (1/n+ ε)，同样ε为正数且小于α'所在取值范围的大小，即，

0 < ε < 1/(n– 1) – 1/n= 1/[n(n– 1)]

这样，

f(α',n) =⌊α'⌋+⌊2α'⌋+ … +⌊nα'⌋=⌊1 – (1/n+ ε)⌋+⌊2 – 2(1/n+ ε)⌋+ … +⌊n– 1 – (n– 1)(1/n+ ε)⌋+⌊n–n(1/n+ ε)⌋=⌊1 – (1/n+ ε)⌋+⌊2 – 2(1/n+ ε)⌋+ … +⌊n– 1 – (n– 1)(1/n+ ε)⌋+⌊n– 1 –nε)⌋

当1 ≤k<n时，第k项

k–k(1/n+ ε) <k，且根据(式1)，k–k(1/n+ ε) >k– 1

所以，⌊k–k(1/n+ ε)⌋=k– 1而最后一项n– 1 –nε <n– 1，所以

⌊n– 1 –nε⌋=n– 2因此，

f(α',n) = 0 + 1 + … +n– 2 +n– 2=n(n– 1)/2 – 1

这样，

f(α,n) =f(1 + α',n)= 1 +⌊α'⌋+ 2 +⌊2α'⌋+ … +n+⌊nα'⌋=n(n+ 1)/2 +f(α',n)=n(n+ 1)/2 +n(n– 1)/2 – 1=n2– 1

显然有，

f(α,n)≡-1 (modn)

所以f(α,n)不能被n整除，无解。

综上，α = 0是区间[0, 2)内的唯一解。

根据周期为2的特性，偶数是α在实数域中所有的解。