2024高中数学联赛试卷解析出炉！今年试题聚焦了哪些关键知识点？

2024-09-11 10:20|编辑: 小李老师|阅读: 357

摘要

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一试试题分析

　　今年的一试题目整体难度适中，较为常规。特别是第八题，经过简单思考后，可以转化为对224和233两种情况的分析。在解答时，需要注意以下几个关键点：1. 数字0不能作为首位，因此需要首先排除。2. 如果过分强调“小于”的关系，讨论过程会变得复杂。3. 因此，建立一个合理的映射关系是计数的关键。4. 在224的情况下，我们应关注22的大小关系;在233的情况下，则关注33。这两种情况都存在自然的“>”和“<”的对称性，把握这一点是快速解决此题的关键。忽视这一点可能会导致解题过程陷入困境，步履维艰。

二试解题思路&评析

　　二试解题思路&评析

　　第一题

　　评析：这道题目有一定陷阱但是比较简单，主要考察对于取整这一系列的运算的代数理解，依靠待定的整数部分进行运算。这道题目解析中r为偶数这一情形的证明中的第二部分的主要思想是含有主项余项的估计。这道题目的背景也与等比数列取小部分的代数进位制表示有关。

　　思路：这道题目唯一的难点在于猜出正确的答案，对于r为偶数的情形，可以思考r较小的基本情形，并结合一定的代数估计知识，不难给出r较小时的结果并猜测出合理的一般情形。证明部分较为基础，是对于基本功的考察。

　　第二题

　　评析：这道题目是一道难度适中的高联二试几何。主要考察对于四点共圆，三线共点的应用。本题的核心是利用根心下手，进而考虑使用赛瓦定理或者同一法去证明三线共点，逐步转化条件即可作出。总体而言是一道不错的考察几何基本功的题目。

　　思路：本题所证结论由观察与根轴便知等价于AC, BP, DQ共点I，接着便考虑利用角元赛瓦，此时可选择直接进行角度计算但稍显复杂。同时如果结合图形性质的表示也可以很容易发现AC与BP交点可以被表示，这样便可以用统一法证明。同时如果考虑进一步利用等角共轭点的性质转化条件。作出等角共轭点J后，便又发现两组新的四点共圆 JBAL与 JDAK，于是问题就等价于证明AKD与ABL外接圆都交AC于同一点，接下来导比即证。

　　第三题

　　评析：这是一道相对有一定难度的联赛第三题，题目的理解转换有一定难度，对于构造的证明也比较困难，一般来讲这种证明和构造都存在一定难度的问题本身难度往往不低，但是这题唯一比较利于分析的是构造虽然不好证明，但是比较容易猜出来情况，从而分析出来证明方法。

　　思路：首先读题可以意识到我们希望在任意染色情况下找一个差最大的连通图，一般可以先考虑构造，那也就是希望找一个染色使得连通图差无论如何都不会很大，所以很自然考虑相间染色(连通时邻格染色差较小)。在相间染色中很容易发现最值情况以及取法，再结合构造时的取法考虑一般情况通过取中间一列规避连通性的影响，证明相对还是比较容易的。这道题比较困难的在于构造的证明，可以结合构造讨论取法情况结合最优性证明，也可以考虑结合图论的想法通过二部图以及连通性证明。

　　第四题

　　评析：这道题难度在第四题相对偏简单，分析思路比较直接也没有太多陷阱，不过对于数论的综合要求比较高，属于对能力区分度比较高的问题，同时因为第三题的难度很多人可以没有太多时间思考第四题。

　　思路：首先这是一道典型的集合生成类型的问题，这类问题一般关键点在于可以生成什么数以及我们证明需要什么类型的数。很容易将条件分为1，4与2，3两部分。2,3条件不需要A、B，结合结论容易发现只需分析素数幂的情况。再考虑1,4的生成形式，如果只考虑1,4需要A为p的原根，但这明显不可能。所以在考虑1,4的基础上结合2,3分析。一般来讲4的式子类型比较难分析因子结构，所以尝试往互素条件分析，先考虑(A,B)=1的情况，则可以在4的基础上乘A，再考虑生成数mod情况，容易想到利用指数去掉A,使得B遍历完系即可。最后在回到原题证明能将问题转换成A,B互素情况即可。