全国大学生数学竞赛是一项旨在促进高等数学教育，提高学生学习兴趣与创新能力的重要赛事。这项比赛分为数学专业类和非数学专业类两大类别，每个类别的考试内容都有所不同，但都是围绕大学本科阶段的数学课程展开。请跟随自主选拔在线团队的步伐，一探究竟！另外，为了大家更好的备考数学竞赛，我们特地在文末为大家准备了《全国大学生数学竞赛考点汇总》的PDF文件，点击下载即可进行查看和打印，快来一起看看吧！

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全国大学生数学竞赛考点内容梳理

　　集合、函数、极限、连续

　　◆实数集、有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界。

　　◆n 维 Euclid 空间的基本概念与性质。

　　◆实数系基本定理及其在 n 维 Euclid 空间中的对应定理。

　　◆函数、映射、变换及其几何意义, 隐函数, 反函数与逆变换, 反函数存在定理, 初等函数及相关的性质。

　　◆Rn 中点列极限、收敛列的基本性质。

　　◆夹逼准则、子列极限。

　　◆函数极限及其基本性质。

　　◆函数的连续与间断、左连续右连续、 (有界闭集上) 连续函数的性质。

　　◆上极限、下极限。

　　一元函数微分学

　　◆导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法, 微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。

　　◆微分中值定理与 Taylor 公式。

　　◆一元微分学的应用。

　　多元函数微分学

　　◆偏导数、全微分及其几何意义, 可微、偏导存在、连续之间的关系, 复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 多元函数中值定理与Taylor 公式。

　　◆多元复合函数的可微性和求导、隐函数 (组) 存在定理、隐函数 (组) 求导方法、多元向量值函数的反函数。

　　◆几何应用： 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等。

　　◆极值问题, 条件极值与 Lagrange 乘数法。

　　一元函数积分学

　　◆原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法 (直接积分法、换元法、分部积分法) 、有理函数积分等。

　　◆定积分及其几何意义、 上积分、下积分、Darboux 和 Riemann 、可积条件 (必要条件、充要条件) 。

　　◆定积分的性质。

　　◆无限区间上的广义积分及无界函数广义积分。

　　◆微元法、几何应用及其他应用。

　　多元函数积分学

　　◆积分 (尤其是二重三重积分) 及其几何意义、计算 (累次积分、变换代换 (广义极坐标变换、广义柱面坐标变换、广义球面坐标变换等)。

　　◆重积分的应用 (体积、曲面面积、重心、转动惯量等)。

　　◆含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性等。

　　◆第一型曲线积分、曲面积分。

　　◆第二型曲线积分、曲面积分, 两类线积分、两类面积分之间的关系。

　　◆Green公式、Ostrogradsky-Gauss公式、Stokes公式, 曲线积分与路径无关性、循环常数、场论初步等。

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　　无穷级数

　　◆数项级数、正项级数收敛性;一般项级数的收敛性。

　　◆函数列与函数项级数。

　　◆幂级数。

　　◆Fourier级数及Fourier级数的收敛性。

　　多项式、行列式

　　◆数域与一元多项式。

　　◆因式分解定理。

　　◆有理系数多项式。

　　◆多元多项式及对称多项式、韦达 (Vieta) 定理。

　　◆行列式的定义、性质、计算以及克拉默法则。

　　线性方程组

　　◆高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解。

　　◆向量与向量组。

　　◆矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系。

　　◆线性方程组求解

　　矩阵

　　◆矩阵的概念、矩阵的运算 (加法、数乘、乘法、转置等运算) 及其运算律。

　　◆矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系。

　　◆矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件, 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形及逆矩阵的求取等。

　　◆分块矩阵。

　　双线性函数与二次型

　　◆高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解。

　　◆向量与向量组。

　　◆矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系。

　　◆线性方程组求解。

　　线性空间与线性变换

　　◆线性空间的定义与简单性质。

　　◆维数, 基与坐标。‍

　　◆基变换与坐标变换。‍

　　◆线性子空间。‍

　　◆子空间的交与和、维数公式、子空间的直和。

　　◆线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵。

　　◆特征值与特征向量: 线性变换和矩阵的特征值与特征向量、可对角化线性变换和矩阵的性质与判定, 相似矩阵、相似不变量、哈密顿-凯莱(Hamilton-Caley) 定理等。

　　◆线性变换的值域与核、不变子空间、线性空间的分解与同构。

　　若当标准型

　　◆λ- 矩阵: λ- 矩阵、λ- 矩阵在初等变换下的标准形, 行列式因子、不变因子、初等因子, 矩阵相似的条件等。‍

　　◆若当 (Jordan) 矩阵、若当 (Jordan) 标准形、有理标准形。

　　欧式空间

　　◆定义与基本性质: 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵, 标准正交基、正交矩阵、施密特 (Schmidt) 正交化方法等。

　　◆欧氏空间的同构, 正交变换、子空间的正交补, 对称变换、实对称矩阵的标准形。

　　◆主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形。

　　◆酉空间。

　　解析几何部分

　　向量与坐标

　　◆向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算。

　　◆坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算。

　　◆向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角。

　　◆向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用。

　　◆应用向量求解一些几何、三角问题。

　　轨迹与方程

　　◆曲面方程的定义: 普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系。

　　◆空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系。

　　◆建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程。

　　◆球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程。

　　平面与空间直线

　　◆平面方程、直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义。

　　◆从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面、直线方程。

　　◆根据平面和直线的方程, 判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系。

　　◆根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等; 求两异面直线的公垂线方程。

　　二次曲面及其一般理论

　　◆柱面、锥面、旋转曲面的定义, 求柱面、锥面、旋转曲面的方程。

　　◆椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程。

　　◆单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法。

　　◆根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题。

　　◆二次曲线的渐进方向、中心、渐近线。

　　◆二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点。

　　◆二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径。

　　◆二次曲线的主轴、主方向, 特征方程、特征根。

　　◆化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图。

2024年全国大学生数学竞赛新变化

　　1、赛事新变化

　　目前，赛事在高等教育学会的学科竞赛榜单观察目录。

　　2、报考专业分类

　　西藏、青海、宁夏和内蒙古四个赛区，数学类考生均可报考数学B类，非数学类考生均可报考非数学B类。其他赛区的少数民族地区高校在征得赛区同意后可参照该规则执行。

　　3、参考书

　　考题所涉及的各科内容及参考书籍请参看由佘志坤主编、全国大学生数学竞赛命题组编写、科学出版社出版的《全国大学生数学竞赛参赛指南》；特别地，数学专业类学生可进一步参考全国大学生数学竞赛命题组编写的《全国大学生数学竞赛解析教程(数学专业类)》(上下册)，非数学专业类学生可进一步参考全国大学生数学竞赛命题组编写的《全国大学生数学竞赛解析教程(非数学专业类)》(上下册)。

　　4、命题

　　今年决赛试题，非数学组按A类和B类分开命题，跟往届不同!决赛人数也由第十五届的600人增加至900人，数学类和非数学类分别是450人。

　　5、增加奖项

本届竞赛将继续颁发大学生数学竞赛优秀赛区组织奖牌、大学生数学竞赛优秀院校组织奖牌、大学生数学竞赛优秀指导教师/优秀组织者奖状。